Question

17．已知函數(shù)f（x）=4x³+ax²+bx+5．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）不存在極值點(diǎn)，求a，b的關(guān)系式；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）在$x=\frac{3}{2}$與x=-1時有極值．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，m）上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時，求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a，b的不等式，解出即可；
（Ⅱ）（1）求出函數(shù) 到底是，得到關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定m的范圍即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值以及端點(diǎn)值，求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知f'（x）=12x²+2ax+b…（2分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）不存在極值點(diǎn)，
所以f'（x）=12x²+2ax+b=0無解，
則△=4a²-48b＜0，所以a²＜12b…（4分）
（Ⅱ）（1）f'（x）=12x²+2ax+b，所以$f'（\frac{3}{2}）=12×\frac{9}{4}+3a+b=0$，
且f'（-1）=12-2a+b=0，解得a=-3，b=-18…（6分）
所以f'（x）=12x²-6x-18=6（2x-3）（x+1）

	（-∞，-1）	$（-1，\frac{3}{2}）$	$（\frac{3}{2}，+∞）$
f'（x）	+	-	+
f（x）	增	減	增

所以f（x）在（-∞，-1）和$（\frac{3}{2}，+∞）$上增，在$（-1，\frac{3}{2}）$上減…（8分）
若函數(shù)f（x）在（0，m）上不是單調(diào)函數(shù)，則$m＞\frac{3}{2}$…（9分）
（2）由（1）知，則當(dāng)$x=-1，\frac{3}{2}$時取極大、極小值
因?yàn)閒（x）=4x³-3x²-18x+5，所以$f（-1）=16，f（\frac{3}{2}）=-\frac{61}{4}，f（-2）=-3，f（2）=11$
所以函數(shù)f（x）的最大、最小值分別為$16，-\frac{61}{4}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．