Question

2．已知曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=\frac{3+3t}{8}}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線C₁，C₂的參數(shù)方程化為普通方程；
（Ⅱ）求曲線C₁上的點(diǎn)到曲線C₂的距離的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，sin²θ+cos²θ=1進(jìn)行代換即得曲線C₁，C₂的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（2cosθ，sinθ）為曲線C₁上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線的距離d，利用三角函數(shù)的有界限可得最值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），則cosθ=$\frac{x}{2}$，
∵sin²θ+cos²θ=1，
可得：為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
∴曲線C₁的普通方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
曲線C₂的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=\frac{3+3t}{8}}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，
t=x+3，帶入y=$\frac{3+3（x+3）}{8}$，即3x-8y+12=0．
∴曲線C₂的普通方程為3x-8y+12=0．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（2cosθ，sinθ）為曲線C₁上任意一點(diǎn)，
則點(diǎn)P到直線3x-8y+12=0的距離d為：$d=\frac{{|{6cosθ-8sinθ+12}|}}{{\sqrt{73}}}=\frac{{|{10sin（φ-θ）+12}|}}{{\sqrt{73}}}$，（其中$tanφ=\frac{3}{4}$）
∵sin（φ-θ）∈[-1，1]，
∴$d∈[{\frac{{2\sqrt{73}}}{73}，\frac{{22\sqrt{73}}}{73}}]$
即曲線C₁上的點(diǎn)到曲線C₂的距離的最大值為$\frac{{22\sqrt{73}}}{73}$，最小值為$\frac{{2\sqrt{73}}}{73}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，以及利用平面幾何知識(shí)解決最值問(wèn)題．