Question

1．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點(diǎn)為F（1，0），且點(diǎn)$P（{1，\frac{3}{2}}）$在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)T（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件求出c=1，得到a²=b²+1．通過點(diǎn)$P（{1，\frac{3}{2}}）$在橢圓C上，得到$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，可解橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通過聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及x₁x₂+y₁y₂＞0．判別式的符號(hào)，求解k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得c=1，
所以a²=b²+1．
因?yàn)辄c(diǎn)$P（{1，\frac{3}{2}}）$在橢圓C上，
所以$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，可解得a²=4，b²=3．
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+16kx+4=0．
因?yàn)椤?48（4k²-1）＞0，所以${k^2}＞\frac{1}{4}$，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得${x_1}+{x_2}=\frac{-16k}{{4{k^2}+3}}，{x_1}{x_2}=\frac{4}{{4{k^2}+3}}$．
因?yàn)椤螦OB為銳角，所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$，即x₁x₂+y₁y₂＞0．
所以x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＞0，
即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0，$（{1+{k^2}}）•\frac{4}{{4{k^2}+3}}+2k•\frac{-16k}{{4{k^2}+3}}+4＞0$$\frac{{-12{k^2}+16}}{{4{k^2}+3}}＞0$
所以${k^2}＜\frac{4}{3}$．
綜上$\frac{1}{4}＜{k^2}＜\frac{4}{3}$，
解得$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜k＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜k＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
所以，所求直線的斜率的取值范圍為$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜k＜-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜k＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，范圍問題的處理方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．