Question

11．如圖，已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A，O為坐標原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點P，Q，若∠PAQ=$\frac{π}{3}$，且$|{\overrightarrow{OQ}}|=3|{\overrightarrow{OP}}$|，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

Answer 1

分析 過A作AB⊥PQ，設圓A半徑為r，三角形APQ是等邊三角形，用r表示出OB，AB計算漸近線的斜率，從而得出a，b的關系得出離心率．

解答 解：∵∠PAQ=$\frac{π}{3}$，AP=AQ，
∴△PAQ是等邊三角形，
設圓A的半徑為r，
過A作AB⊥PQ，垂足為B，則B為PQ的中點，
∴PB=$\frac{1}{2}$r，AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∵OQ=3OP，∴OB=2OP=r，
∴tan∠AOB=$\frac{AB}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又漸近線方程為y=$\frac{a}x$，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
解法二：由于雙曲線的離心率e＞1，排除A，B，C，
故選D．

點評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．