Question

4．已知△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長分別為a、b、c，且知A、B、C依次成等差數(shù)列，a+c=13，a²+c²=89，m為函數(shù)$y=\frac{{{x^2}+1}}{{\sqrt{{x^2}+1}}}$的最小值；橢圓E：的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，E上一點(diǎn)P到F₁距離的最大值為b，最小值為m，則橢圓E的離心率的算術(shù)平方根為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{1}{7}$

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的性質(zhì)求得B=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理求得b的值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得m的值，設(shè)橢圓方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，即可求得a和c的值，求得橢圓的離心率，即可求得橢圓E的離心率的算術(shù)平方根．

解答 解：由題意可知：A、B、C依次成等差數(shù)列，則2B=A+C，則B=$\frac{π}{3}$，
由a+c=13，a²+c²=89，則（a+c）²=a²+2ac+c²，則ac=40，
在△ABC中，由余弦定理可知：b²=a²+c²-2accosB=89-2×40×$\frac{1}{2}$=49，
則b=7，
由函數(shù)$y=\frac{{{x^2}+1}}{{\sqrt{{x^2}+1}}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，當(dāng)x=0時(shí)取最小值1，則m=1，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由P到F₁距離的最大值為b，最小值為m，則$\left\{\begin{array}{l}{a+c=7}\\{a-c=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，則橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，
橢圓E的離心率的算術(shù)平方根$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，考查等差數(shù)列性質(zhì)，余弦定理，及函數(shù)的單調(diào)性，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．