Question

6．如圖，某構件是由編號1、2、…、k（k∈N^*且k≥3）的有限個圓柱自下而上組成的，其中每一個圓柱的高與其底面圓的直徑相等，且對于任意兩個相鄰圓柱，上面圓柱的高是下面圓柱的高的一半，設編號1的圓柱的高為4．
（1）分別求編號1、編號2的圓柱的體積V₁、V₂；
（2）寫出編號n（n=1，2，…，k）的圓柱的體積V_n關于n的表達式（不必證明）；
（3）求該構件的體積．

Answer 1

分析 （1）代入體積公式計算即可；
（2）利用等比數(shù)列的知識求出編號為n的圓柱的底面半徑和高，代入體積公式計算；
（3）各圓柱的體積組成一個等比數(shù)列，則幾何體的體積為等比數(shù)列的前k項和．

解答 解：（1）V₁=π×2²×4=16π，V₂=π×1²×2=2π，
（2）設編號為n的圓柱的高為h_n，則數(shù)列{h_n}為以4為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴h_n=4×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n-3}}$．∴編號為n的圓柱的底面半徑為$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
∴V_n=$π×（\frac{1}{{2}^{n-2}}）^{2}×\frac{1}{{2}^{n-3}}$=$\frac{1}{{2}^{3n-7}}π$．
（3）∵$\frac{{V}_{n+1}}{{V}_{n}}$=$\frac{π}{{2}^{3（n+1）-7}}×\frac{{2}^{3n-7}}{π}$=$\frac{1}{8}$，
∴數(shù)列{V_n}是以16π為首項，以$\frac{1}{8}$為公比的等差數(shù)列，
∴幾何體的體積為S_k=$\frac{16π（1-\frac{1}{{8}^{k}}）}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{128π}{7}$（1-$\frac{1}{{8}^{k}}$）．

點評 本題考查了圓柱的體積計算，等比數(shù)列的應用，屬于中檔題．