Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點B（1，1），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點A的極坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且l過點A，過點B與直線l平行的直線為l₁，l₁與曲線C相交于兩點M，N
（Ⅰ）求曲線C上的點到直線l距離的最小值
（Ⅱ）求|MN|的值．

Answer 1

分析 （I）點A的極坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，代入可得a=4$\sqrt{2}$．直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展開為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=4$\sqrt{2}$，即可化為直角坐標(biāo)方程．利用點到直線的距離公式與和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（II）設(shè)l₁的方程為：x+y+m=0，把B（1，1）代入上述方程可得直線l₁的方程為：x+y-2=0．可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線C的普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）點A的極坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，∴a=$4\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}-\frac{π}{4}）$=4$\sqrt{2}$．
∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展開為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=4$\sqrt{2}$，化為直角坐標(biāo)方程：x+y-8=0．
∴曲線C上的點到直線l距離d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+φ）-8|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{8-\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}-\sqrt{14}}{2}$，當(dāng)sin（θ+φ）=1時取等號．
（II）設(shè)l₁的方程為：x+y+m=0，把B（1，1）代入上述方程可得：m=-2．
∴直線l₁的方程為：x+y-2=0．可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線C的普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
化為：7t²+2$\sqrt{2}$t-10=0，∴t₁+t₂=-$\frac{2\sqrt{2}}{7}$，t₁•t₂=-$\frac{10}{7}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2\sqrt{2}}{7}）^{2}-4×（-\frac{10}{7}）}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、弦長公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．