Question

1．已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{7}$，AC=2，則此三棱錐外接球的表面積為8π．

Answer 1

分析 以PA，PB，PC分棱構(gòu)造一個長方體，這個長方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，由此能求出三棱錐的外接球的表面積．

解答 解：如圖，PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)PC=h，
則PB=$\sqrt{B{C}^{2}-P{C}^{2}}$=$\sqrt{7-{h}^{2}}$，PA=$\sqrt{A{C}^{2}-P{C}^{2}}$=$\sqrt{4-{h}^{2}}$，
∵PA²+PB²=AB²，∴4-h²+7-h²=5，解得h=$\sqrt{3}$，
三棱錐P-ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=1，PB=2，PC=$\sqrt{3}$，
∴以PA，PB，PC分棱構(gòu)造一個長方體，
則這個長方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，
∴由題意可知，這個長方體的中心是三棱錐的外接球的心，
三棱錐的外接球的半徑為R=$\frac{\sqrt{1+4+3}}{2}$=$\sqrt{2}$，
所以外接球的表面積為S=4πR²=4$π×（\sqrt{2}）$²=8π．
故答案為：8π．

點(diǎn)評 本題考查三棱錐的外接球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．