Question

14．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF₂交橢圓于另一點(diǎn)B．
（1）若∠F₁AB=90°，求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的焦距為2，且$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由△AOF₂為等腰直角三角形，則b=c，利用橢圓的離心率公式求得橢圓的離心率；
（2）由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程．

解答 解：（1）若∠F₁AB=90°，則△AOF₂為等腰直角三角形．則|OA|=|OF₂|，即b=c．
∴a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由題知2c=2，c=1，則A（0，b），F(xiàn)₂（1，0），設(shè)B（x，y），
由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，即（1，-b）=2（x-1，y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-2=1}\\{2y=-b}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{2}$．
代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，即$\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{1}{4}=1$解得a²=3．b²=a²-c²=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．