Question

15．若$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}$＞0，有四個不等式：①a³＜b³；②log_a+23＞log_b+13；③④$\sqrt$-$\sqrt{a}$＜$\sqrt{b-a}$；④a³+b³＞2ab²，則下列組合中全部正確的為（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 根據不等式的性質分別對①②③④判斷即可．

解答 解：若$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}$＞0，則b＞a＞0，
①a³＜b³，正確；
②令b=2，a=1，則log_a+23=log_b+13；故②錯誤；
③由$\sqrt$-$\sqrt{a}$＜$\sqrt{b-a}$，
得：b+a-2$\sqrt{ab}$＜b-a，
故a＜$\sqrt{ab}$，故a＜b，成立，
故③正確；
④∵b＞a＞0，∴a²-2ab+b²＞0，∴a²-ab+b²＞ab（*）．
而a，b均為正數，∴a+b＞0，
∴（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b），
∴a³+b³＞a²b+ab² 成立．
而2ab²＞a²b+ab²，故④不一定成立，故④錯誤；
故選：B．

點評 本題主要考查用分析法和綜合法證明不等式，此題還可用比較法證明，體會不同方法間的區(qū)別聯系，屬于中檔題．