Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的方程為$\sqrt{3}$x$+y-3\sqrt{3}$=0，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系
（Ⅰ）求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程
（Ⅱ）若射線OM：θ=$\frac{π}{3}$與圓C交于點(diǎn)O，P，與直線l交于點(diǎn)Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （I）把cos²φ+sin²φ=1代入圓C的參數(shù)方程，消去參數(shù)化為普通方程，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得圓C的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出線段PQ的長即可．

解答 解：（I）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
消去參數(shù)化為普通方程：（x-1）²+y²=1，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$ 代入可得圓C的極坐標(biāo)方程：ρ=2cosθ．
∵直線l的方程為$\sqrt{3}$x$+y-3\sqrt{3}$=0，
∴直線l的極坐標(biāo)方程式2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=3$\sqrt{3}$；
（II）設(shè)P（ρ₁，θ₁），則$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₁=1，θ₁=$\frac{π}{3}$，
設(shè)Q（ρ，θ），則$\left\{\begin{array}{l}{2ρ（sinθ+\sqrt{3}cosθ）=3\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ=$\frac{3}{2}$，θ=$\frac{π}{3}$，
∴|PQ|=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、弦長問題，考查了計算能力，屬于中檔題．