Question

已知中心在原點(diǎn)O，左焦點(diǎn)為F₁（-1，0）的橢圓C₁的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，F(xiàn)₁到直線AB的距離為

7

7

|OB|．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）若橢圓C₁方程為：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0），橢圓C₂方程為：

x2

m2

+

y2

n2

=λ（λ＞0，且λ≠1），則稱橢圓C₂是橢圓C₁的λ倍相似橢圓．已知C₂是橢圓C₁的3倍相似橢圓，若直線y=kx+b與兩橢圓C₁、C₂交于四點(diǎn)（依次為P、Q、R、S），且

PS

+

RS

=2

QS

，試求動(dòng)點(diǎn)E（k，b）的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出F₁（-1，0），a²+b²=7（a-1）²，b²=a²-1，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）設(shè)Q，R，P，S各點(diǎn)坐標(biāo)依次為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），（x₄，y₄），將y=kx+b代入橢圓C₁方程，得：
（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式結(jié)合已知條件能求出動(dòng)點(diǎn)E（k，b）的軌跡方程．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
∴直線AB的方程為

x

-a

+

y

b

=1，
∴F₁（-1，0）到直線AB的距離為d=

|b-ab|

a2+b2

=

7

7

b，
∴a²+b²=7（a-1）²，
又b²=a²-1，解得a=2，b=

3

，
∴橢圓C₁的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）橢圓C₁的3倍相似橢圓C₂的方程為

x2

12

+

y2

9

=1，
設(shè)Q，R，P，S各點(diǎn)坐標(biāo)依次為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），（x₄，y₄），
將y=kx+b代入橢圓C₁方程，得：
（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
∴△₁=（8kb）²-4（3+4k²）（4b²-12）=48（4k²+3-b²）＞0，（*）
此時(shí)，x₁+x₂=-

8kb

3+4k2

，x1x2=

4b2-12

3+4k2

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3(4k2+3-b2)

3+4k2

，
將y=kx+b代入橢圓C₂的方程，得：
（3+4k²）x²+8kbx+4b²-36=0，
∴x₃+x₄=-

8kb

3+4k2

，x₃x₄=

4b2-36

3+4k2

，
|x₃-x₄|=

4 3(12k2+9-b2)

3+4k2

，
∴x₁+x₂=x₃+x₄，
∴線段PS，QR中點(diǎn)相同，∴|PQ|=|RS|，
由

PS

+

RS

=2

QS

，

PQ

=

QR

，
∴|PS|=3|QR|，解得|x₃-x₄|=3|x₁-x₂|，
∴

4 3(12k2+9-b2)

3+4k2

=3×

4 3(k2+3-b2)

3+4k2

，
12k²+9=4b²，滿足（*）式，
∴動(dòng)點(diǎn)E（k，b）的軌跡方程為

4b2

9

-

4k2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓C₁的方程的求法，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．