Question

9．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f（x+2）=f（x），若f（x）滿足：
①x∈[0，2）時，f（x）=a-|x-b|，
②f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，
③存在m使得f（x+m）=-f（m-x）
則a+b的值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關系，判斷函數(shù)的對稱性，利用對稱性建立方程進行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f（x+2）=f（x），
∴當x≥0時，f（x+2）=f（x）=f（-x），即此時函數(shù)關于x=1
∵x∈[0，2）時，f（x）=a-|x-b|，
∴對稱軸x=b，則b=1，則f（x）=a-|x-1|，
若存在m使得f（x+m）=-f（m-x），
則f（x+m）=-f（m-x）=-f（x-m），
即f（x+2m）=-f（x），
則f（x+4m）=-f（x+2m）=f（x），
∵f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)的周期是2，
則4m=2，則m=$\frac{1}{2}$，
則f（x+$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$-x），
則f（0）=-f（1），
則a-1=-（a-0）=-a，
則a=$\frac{1}{2}$，
則a+b=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$

點評 本題主要考查函數(shù)性質的綜合應用，利用函數(shù)奇偶性和對稱性的性質以及函數(shù)的周期性建立方程關系是解決本題的關鍵．