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19.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知1+tanAtanB=2c
(I)求A;
(Ⅱ)若BC邊上的中線AM=22,高線AH=3,求△ABC的面積.

分析 (I)由和三角函數(shù)公式和正弦定理可得cosA=12,A=\frac{π}{3}
(Ⅱ)可得MH=\sqrt{5},以M為原點,BC的垂直平分線為y軸建系,由向量的數(shù)量積可得a的方程,解得a2=4,a=2,代入三角形的面積公式計算可得.

解答 解:(I)∵在△ABC中1+\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c},∴1+\frac{sinAcosB}{cosAsinB}=\frac{2c},
\frac{cosAsinB+sinAcosB}{cosAsinB}=\frac{2c},∴\frac{sin(A+B)}{cosAsinB}=\frac{2c},
\frac{sinC}{cosAsinB}=\frac{2c},∴由正弦定理可得\frac{c}{bcosA}=\frac{2c},
∴cosA=\frac{1}{2},∵A∈(0,π),∴A=\frac{π}{3};
(Ⅱ)由題意和勾股定理可得MH=\sqrt{A{M}^{2}-A{H}^{2}}=\sqrt{5}
以M為原點,BC的垂直平分線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,
并設(shè)C(a,0),則B(-a,0),其中a>0,
則由題意可得A(\sqrt{5}\sqrt{3}),cos<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}>=cos\frac{π}{3}=\frac{1}{2}
又可得\overrightarrow{AB}=(-a-\sqrt{5},-\sqrt{3}),\overrightarrow{AC}=(a-\sqrt{5},-\sqrt{3}),
由數(shù)量積可得(-a-\sqrt{5})(a-\sqrt{5})+3=\sqrt{(-a-\sqrt{5})^{2}+3}\sqrt{(a-\sqrt{5})^{2}+3}\frac{1}{2},
整理可得a4-20a2+64=0,故(a2-4)(a2-16)=0,解得a2=4或a2=1
經(jīng)驗證當(dāng)a2=16時矛盾,應(yīng)舍去,故a2=4,a=2,
故可得△ABC的面積S=\frac{1}{2}•BC•AH=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}

點評 本題考查正余弦定理解三角形,涉及向量的數(shù)量積和三角形的面積公式,建系是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.

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(2)求數(shù)列{bn}的通項公式;
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