Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}{a}_{n}（n∈{N}^{*}）$．
（Ⅰ）證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{4n-{a}_{n}}$，若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡(jiǎn)已知條件，即可證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比數(shù)列，求出首項(xiàng)與公比，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用放縮法推出$_{n}≤\frac{1}{{2}^{n-1}}$，然后利用等比數(shù)列求和，證明結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{1}{2}×\frac{{a}_{n}}{n}$，數(shù)列$\left\{\frac{{a}_{n}}{n}\right\}$是首項(xiàng)為2，公比$q=\frac{1}{2}$的等比數(shù)列
所以$\frac{{a}_{n}}{n}=2×{（\frac{1}{2}）}^{n-1}={2}^{2-n}$，${a}_{n}=n×{2}^{2-n}=\frac{4n}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）證明：$_{n}=\frac{{a}_{n}}{4n-{a}_{n}}=\frac{\frac{4n}{{2}^{n}}}{4n-\frac{4n}{{2}^{n}}}=\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
注意對(duì)任意n∈N^*，2ⁿ-1≥2^n-1，
所以${T}_{n}≤1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}=2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＜2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查數(shù)列求和以及放縮法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．