Question

已知函數(shù)f（x²-1）=log_a

x2

2-x2

（a＞0，且a≠1），求函數(shù)f（x）的解析式，并判斷f（x）的奇偶性．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x²-1=t，則x²=t+1＞0，t＞-1．可得f（t）=loga

t+1

1-t

，再利用函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷出．

解答： 解：令x²-1=t，則x²=t+1＞0，t＞-1．
∵函數(shù)f（x²-1）=log_a

x2

2-x2

（a＞0，且a≠1），
∴f（t）=loga

t+1

1-t

，
∵t＞-1，

t+1

1-t

＞0，∴-1＜t＜1．
f（-t）+f（t）=loga

-t+1

1+t

+loga

t+1

1-t

=log_a1=0，
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

點評：本題考查了換元法、函數(shù)的奇偶性的判定方法、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．