Question

2．設(shè)a＞0，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$-$\frac{a}{{e}^{x}}$是R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明：y=f（x）-2x在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，f（0）=0，即可求出a的值；
（2）對(duì)函數(shù)y求導(dǎo)數(shù)，利用基本不等式即可判斷導(dǎo)數(shù)大于或等于0恒成立，從而得出函數(shù)y是單調(diào)增函數(shù)．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$-$\frac{a}{{e}^{x}}$是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=$\frac{1}{a}$-a=0，
解得a=±1，
又a＞0，∴a=1；
（2）證明：∵y=f（x）-2x=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$-2x，
∴y′=e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-2≥2$\sqrt{{e}^{x}•\frac{1}{{e}^{x}}}$-2=0，
∴函數(shù)y=f（x）-2x在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題目．