Question

10．某市高二年級學生進行數(shù)學競賽，競賽分為初賽和決賽，規(guī)定成績在110分及110分以上的學生進入決賽，110分以下的學生則被淘汰，現(xiàn)隨機抽取500名學生的初賽成績按[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]做成頻率副本直方圖，如圖所示：（假設(shè)成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布的）
（1）求這500名學生中進入決賽的人數(shù)，及進入決賽學生的平均分（結(jié)果保留一位小數(shù)）；
（2）在全市進入決賽的學生中，按照成績[110，130），[130，150]分層抽取6人組進行決賽前培訓，在從6人中選取2人擔任組長，求組長中至少一名同學來自于高分組[130，150]的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意和頻率分布直方圖列出方程，求出a，由此能求出這500名學生中進入決賽的人數(shù)，及進入決賽學生的平均分．
（2）由題意知抽取的6人中，成績在[110，130）間的有4人，為A₁，A₂，A₃，A₄，成績在[130，150）間的有2人，設(shè)為B₁，B₂，從6人中選取2人擔任組長，利用列舉法能求出組長中至少一名同學來自于高分組[130，150]的概率．

解答 解：（1）由題意和頻率分布直方圖，得：$\frac{500}{500×20}$=0.0144+0.0128+0.0112+0.0056+0.0040+a，
解得a=0.0020，
∴這500名學生中進入決賽的人數(shù)為：（0.0040+0.0020）×500×20=60，
進入決賽學生的平均分為：
40×0.0056×20+60×0.0128×20+80×0.0144×20+100×0.0112×20+120×0.0040×20+140×0.0020×20=80.48≈80.5，
∴這500名學生中有60人進入決賽，進入決賽學生的平均分為80.5分．
（2）由題意知抽取的6人中，成績在[110，130）間的有4人，為A₁，A₂，A₃，A₄，
成績在[130，150）間的有2人，設(shè)為B₁，B₂，
從6人中選取2人擔任組長，基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{2}$=15，
其中至少一名同學來自高分組[130，150）的有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂），共9種情況，
∴組長中至少一名同學來自于高分組[130，150]的概率p=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖、概率、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．