Question

2．已知拋物線y²=4x的焦點F與橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個焦點重合，它們在第一象限內的交點為P，且PF與x軸垂直，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}-\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}-1$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由拋物線的方程求出拋物線的焦點F為（1，0），由PF⊥x軸，設P（1，y₀），代入拋物線方程求出點P坐標為（1，2），得到橢圓的半焦距c=1且點P在橢圓上，由此建立關于a、b的方程組，解出a的值，由橢圓的離心率計算可得答案．

解答 解：∵拋物線的方程為y²=4x，∴拋物線的焦點F為（1，0），
又∵拋物線與橢圓在第一象限內的交點為P，且PF⊥x軸，
∴設P（1，y₀），代入拋物線方程得y₀²=4×1=4，得y₀=2（舍負）．
因此點P（1，2）在橢圓上，橢圓的半焦距c=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}=1}\end{array}\right.$，解得a²=3+2$\sqrt{2}$，b²=2+2$\sqrt{2}$，
由此可得a=$\sqrt{2}$+1，橢圓的離心率e=$\sqrt{2}$-1．
故選：B．

點評 本題給出拋物線的焦點F是橢圓的右焦點，它們在第一象限的交點在x軸上的射影恰好為點F，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓、拋物線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．