Question

9．將圓x²+y²=1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極坐標建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρcosθ+ρsinθ-2=0．
（1）寫出C的參數方程和直線l的直角坐標方程．
（2）設直線l與曲線C的交點為P₁，P₂，求過線段P₁P₂的中點且與l垂直的直線的極坐標方程．

Answer 1

分析 （1）在曲線C上任意取一點（x，y），再根據點（x，$\frac{y}{2}$）在圓x²+y²=1上，求出C的方程，化為參數方程．再根據x=ρcosα、y=ρsinα 可得直線l的直角坐標方程
（2）解方程組求得P₁、P₂的坐標，可得線段P₁P₂的中點坐標．再根據與l垂直的直線的斜率為$\frac{1}{2}$，用點斜式求得所求的直線的方程，再根據x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直線的極坐標方程．

解答 解：（Ⅰ）在曲線C上任意取一點（x，y），由題意可得點（x，$\frac{y}{2}$）在圓x²+y²=1上，
∴x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，即曲線C的方程為 x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，化為參數方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$ （0≤θ＜2π，θ為參數）．
再x=ρcosα、y=ρsinα 可得直線l的直角坐標方程為2x+y-2=0；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2=0}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，可得 P₁（1，0）、P₂（0，2），
則線段P₁P₂的中點坐標為（$\frac{1}{2}$，1），
再根據與l垂直的直線的斜率為$\frac{1}{2}$，故所求的直線的方程為y-1=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$），即x-2y+$\frac{3}{2}$=0．
再根據x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直線的極坐標方程為ρcosα-2ρsinα+$\frac{3}{2}$=0，
即 ρ=$\frac{3}{4sinα-2cosα}$．

點評 本題主要考查求點的軌跡方程的方法，極坐標和直角坐標的互化，用點斜式求直線的方程，屬于中檔題．