Question

19．如圖，圓C：x²+y²+2x-3=0內(nèi)有一點(diǎn)P（-2，1），AB為過(guò)點(diǎn)P且傾斜角為α的弦．
（1）當(dāng)α=135°時(shí)，求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，寫(xiě)出直線(xiàn)AB的方程；
（3）若圓C上的動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），R（a，0）（a≠0）的距離之比恒為定值λ（λ≠1），求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）判斷直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓的圓心，然后求解弦長(zhǎng)．
（2）弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，AB⊥PC，k_AB•k_PC=-1，又k_PC=-1，然后求解直線(xiàn)方程．
（3）設(shè)M（x₀，y₀），則滿(mǎn)足${x_0}^2+{y_0}^2+2{x_0}-3=0$，①，通過(guò)$\frac{|MO|}{|MR|}=λ$，即$\frac{{\sqrt{{x_0}^2+{y_0}^2}}}{{\sqrt{{{（{x_0}-a）}^2}+{y_0}^2}}}=λ$．然后求解即可．

解答 解：（1）由題意知，圓心C（1，0），半徑R=2，直線(xiàn)AB的方程為x+y+1=0，
直線(xiàn)AB過(guò)圓心C，所以弦長(zhǎng)AB=2R=4．…（4分）
（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，AB⊥PC，k_AB•k_PC=-1，又k_PC=-1，
所以k_AB=1，直線(xiàn)AB的方程為x-y+3=0．…（8分）
（3）設(shè)M（x₀，y₀），則滿(mǎn)足${x_0}^2+{y_0}^2+2{x_0}-3=0$，①…（9分）
由題意得，$\frac{|MO|}{|MR|}=λ$，即$\frac{{\sqrt{{x_0}^2+{y_0}^2}}}{{\sqrt{{{（{x_0}-a）}^2}+{y_0}^2}}}=λ$．…（10分）
整理得${x_0}^2+{y_0}^2={λ^2}[{x_0}^2-2a{x_0}+{a^2}+{y_0}^2]$，②
由①②得，$3-2{x_0}={λ^2}[3-2{x_0}-2a{x_0}+{a^2}]$恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}3={λ^2}（3+{a^2}）\\-2={λ^2}（-2-2a）\end{array}\right.$，又a≠0，λ＞0，λ≠1，
解之得a=3．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．