Question

15．在某單位的職工食堂中，食堂每天以3元/個(gè)的價(jià)格從面包店購(gòu)進(jìn)面包，然后以5元/個(gè)的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的面包以1元/個(gè)的價(jià)格賣(mài)給飼料加工廠．根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示．食堂某天購(gòu)進(jìn)了90個(gè)面包，以x（單位：個(gè)，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（單位：元）表示利潤(rùn)．
（Ⅰ）求T關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于100元的概率；
（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中間值的概率（例如：若需求量x∈[60，70），則取x=65，且x=65的概率等于需求量落入[60，70）的頻率），求T的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，當(dāng)60≤X≤90時(shí)，求出利潤(rùn)T，當(dāng)90＜X≤110時(shí)，求出利潤(rùn)T，由此能求出T關(guān)于x的函數(shù)解析式．
（Ⅱ）由題意，設(shè)利潤(rùn)T不少于100元為事件A，利潤(rùn)T不少于100元時(shí)，即70≤X≤110，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出T的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（III）由題意，利潤(rùn)T的取值可為：80，120，160，180，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望E（T）．

解答 解：（Ⅰ）由題意，當(dāng)60≤X≤90時(shí)，利潤(rùn)T=5X+1×（90-X）-3×90=4X-180，
當(dāng)90＜X≤110時(shí)，利潤(rùn)T=5×90-3×90=180，
即T關(guān)于x的函數(shù)解析式T=$\left\{\begin{array}{l}{4X-180，（60≤X≤90）}\\{180，（90＜X≤110）}\end{array}\right.$．…（4分）
（Ⅱ）由題意，設(shè)利潤(rùn)T不少于100元為事件A，
由（Ⅰ）知，利潤(rùn)T不少于100元時(shí)，即4X-180≥100，
∴X≥70，即70≤X≤110，
由直方圖可知，當(dāng)70≤X≤110時(shí)，
所求概率為：
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-0.025×（70-60）=0.75．…（7分）
（ III）由題意，由于4×65-180=80，4×75-180=120，
4×85-180=160，
故利潤(rùn)T的取值可為：80，120，160，180，
且P（T=80）=0.25，P（T=120）=0.15，P（T=160）=0.2，P（T=180）=0.4，…（9分）
故T的分布列為：

T	80	120	160	180
P	0.25	0.15	0.2	0.4

∴利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望：
E（T）=80×0.25+120×0.15+160×0.20+180×0.40=142．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．