Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），$\overrightarrow$=（sinx，cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+2
（1）求f（x）的最值及取得最值時(shí)的x的取值構(gòu)成的集合；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，2π]上的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+2，根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算求解出f（x）化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
（2）三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，出內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，x∈[0，2π]時(shí)，即得到f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），$\overrightarrow$=（sinx，cosx），
由f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+2
=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+2
=sin（x+$\frac{π}{3}$）+2
根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：
當(dāng)x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+2kπ$時(shí)，（k∈Z）
函數(shù)f（x）取得最大值3，此時(shí)x的集合為$\left\{{x\left|{x=2kπ+\frac{π}{6}，k∈z}\right.}\right\}$
當(dāng)x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}+2kπ$時(shí)，（k∈Z）
函數(shù)f（x）取得最小值1，此時(shí)x的集合為$\left\{{x\left|{x=2kπ-\frac{5π}{6}，k∈z}\right.}\right\}$
（2）由（1）可得f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+2
由$\frac{π}{2}+2kπ$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，（k∈Z）
解得：$2kπ+\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{6}$+2kπ，（k∈Z）
∵x∈[0，2π]
∴單調(diào)減區(qū)間為$[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題