分析 由橢圓及雙曲線的定義可知m+n=2a1,m-n=2a2.利用余弦定理,求得10=$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$+$\frac{9}{{e}_{2}^{2}}$,將e2=2e1,即可求得e1.
解答 解:設(shè)橢圓與雙曲線的半長(zhǎng)軸分別為a1,a2,半焦距為c.e1=$\frac{c}{{a}_{1}}$,e2=$\frac{c}{{a}_{2}}$.
設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,不妨設(shè)m>n,
則m+n=2a1,m-n=2a2.
∴m2+n2=2${a}_{1}^{2}$+2${a}_{2}^{2}$,mn=${a}_{1}^{2}$-${a}_{2}^{2}$
4c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2,
∴4c2=2${a}_{1}^{2}$+2${a}_{2}^{2}$-2(${a}_{1}^{2}$-${a}_{2}^{2}$)×$\frac{4}{5}$.
整理得:10c2=${a}_{1}^{2}$+9${a}_{2}^{2}$,
∴10=$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$+$\frac{9}{{e}_{2}^{2}}$,又e2=2e1,
∴40${e}_{1}^{2}$=13,e1∈(0,1).
解得:e1=$\frac{{\sqrt{130}}}{20}$.
∴橢圓的離心率e1=$\frac{{\sqrt{130}}}{20}$.
故答案為:$\frac{{\sqrt{130}}}{20}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線及橢圓的離心率公式,考查余弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 必要不充分條件 | B. | 充分不必要條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{6}$ |
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A. | π | B. | $\frac{3π}{4}$ | C. | $\frac{π}{2}$ | D. | $\frac{π}{4}$ |
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A. | d<0 | B. | d>0 | C. | a16<0 | D. | a16>0 |
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