Question

12．已知函數(shù)f（x）=（ax²+x-1）e^x．
（1）若a＜0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）=e^-xf（x）+lnx，過O（0，0）作y=g（x）切線l，已知切線l的斜率為-e，求證：-$\frac{2{e}^{2}+e}{2}$＜a＜-$\frac{e+2}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，表示出切線方程，求出關(guān)于a的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由已知得：f'（x）=[ax²+（2a+1）x]e^x=[x（ax+2a+1）]e^x．
①若$-\frac{1}{2}＜a＜0$，當(dāng)$x＞-2-\frac{1}{a}$或x＜0時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)$0＜x＜-2-\frac{1}{a}$時(shí)，f'（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（{0，-2-\frac{1}{a}}）$；單調(diào)遞減區(qū)間為$（{-∞，0}），（{-2-\frac{1}{a}，+∞}）$．
②若$a=-\frac{1}{2}，f'（x）=-\frac{1}{2}{x^2}{e^x}≤0$，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞）；
③若$a＜-\frac{1}{2}$，當(dāng)$x＜-2-\frac{1}{a}$或x＞0時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)$-2-\frac{1}{a}＜x＜0$時(shí)，f'（x）＞0；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（{-2-\frac{1}{a}，0}）$；單調(diào)遞減區(qū)間為$（{-∞，-2-\frac{1}{a}}），（{0，+∞}）$．
綜上，當(dāng)$-\frac{1}{2}＜a＜0$時(shí)，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為$（{0，-2-\frac{1}{a}}）$；單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），$（{-2-\frac{1}{a}，+∞}）$．
當(dāng)$a=-\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)$a＜-\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為$（{-2-\frac{1}{a}，0}）$；單調(diào)遞減區(qū)間為$（{-∞，-2-\frac{1}{a}}）$，（0，+∞）．
（2）證明：$g（x）=a{x^2}+x+lnx-1，g'（x）=\frac{{2a{x^2}+x+1}}{x}$，
設(shè)切點(diǎn)$（{{x_0}，a{x_0}^2+{x_0}+ln{x_0}-1}）$，斜率為$\frac{{2a{x_0}^2+{x_0}+1}}{x_0}=-e$①，
所以切線方程為$y-（{a{x_0}^2+{x_0}+ln{x_0}-1}）=\frac{{a{x_0}^2+{x_0}+1}}{x_0}（x-{x_0}）$，
將（0，0）代入得：$-（{a{x_0}^2+{x_0}+ln{x_0}-1}）=e{x_0}$②，
由 ①知$a=\frac{{-e{x_0}-{x_0}-1}}{{2{x_0}^2}}$代入②得：（e+1）x₀+2lnx₀-3=0，令u（x）=（e+1）x+2lnx-3，
則$u'（x）=e+1+\frac{2}{x}＞0$恒成立，∴u（x）在（0，+∞）單增，且$u（1）=e-2＞0，u（{\frac{1}{e}}）＜0$，
∴$\frac{1}{e}＜{x_0}＜1$，∴$a=\frac{{e{x_0}-{x_0}-1}}{{2{x_0}^2}}=-\frac{1}{2}{（{\frac{1}{x_0}}）^2}-\frac{e+1}{2}（{\frac{1}{x_0}}）$，
令$t=\frac{1}{x_0}$，則1＜t＜e，則$a（t）=-\frac{1}{2}{t^2}-\frac{e+1}{2}t$
在（1，e）遞減，且$a（1）=-\frac{e+2}{2}，a（e）=-\frac{{2{e^2}+e}}{2}$，
∴$-\frac{{2{e^2}+e}}{2}＜a＜-\frac{e+2}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．