Question

7．已知拋物線C：y²=8x，點P（0，4），點A在拋物線上，當點A到拋物線準線l的距離與點A到點P的距離之和最小時，延長AF交拋物線于點B，則△AOB的面積為4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先求出拋物線的焦點坐標，再由拋物線的定義可得d=|AF|+|AP|≥|PF|=2$\sqrt{5}$，得出直線AB的方程，即可得出結論．

解答 解：設A在拋物線準線的投影為A'，拋物線的焦點為F，則 F（-2，0），
由拋物線的定義知：A到該拋物線準線的距離為|AA'|=|AF|，
則點A到點P（0，4）的距離與P到該拋物線準線的距離之和d=|AF|+|AP|≥|PF|=2$\sqrt{5}$
AB的斜率為-2，直線方程為y=-2（x-2），即x=-$\frac{y}{2}$+2
代入拋物線C：y²=8x，可得y²+4y-16=0，∴y=-2±2$\sqrt{5}$，
∴△AOB的面積為$\frac{1}{2}×2×4\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案為$4\sqrt{5}$．

點評 本小題主要考查拋物線的定義解題，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．