Question

2．已知f（x）=ax-blnx，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x+1．
（1）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意x≥1，f（x）≥kx恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為k≤2-$\frac{lnx}{x}$在x≥1時恒成立，設(shè)g（x）=2-$\frac{lnx}{x}$，x≥1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（1）由題意得：f′（x）=a-$\frac{x}$，（x＞0），
而曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x+1，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=2}\\{f′（1）=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2x-1}{x}$，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，在（0，$\frac{1}{2}$）遞減；
（2）由（1）得：f（x）=2x-lnx，
∴f（x）≥kx即k≤2-$\frac{lnx}{x}$在x≥1時恒成立，
設(shè)g（x）=2-$\frac{lnx}{x}$，x≥1，
則g′（x）=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在（e，+∞）遞增，在[1，e）遞減，
故x=e時，g（x）有最小值2-$\frac{1}{e}$，
∴k≤2-$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查了求出方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．