Question

判斷并證明f（x）=

3

x+1

在區(qū)間（-1，+∞）上的單調(diào)性，并求出f（x）在[0，5]的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題先利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)遞減，證明如下：
令-1＜x₁＜x₂，則
 f(x1)-f(x2)=

3

x1+1

-

3

x2+1

=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

．
∵-1＜x₁＜x₂，
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，
∴

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0⇒f(x1)-f(x2)＞0．
即  f（x₁）＞f（x₂），
∴f(x)=

3

x+1

在區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
易知f（x）在[0，5]上單調(diào)遞減，
∵0≤x≤5，
∴f（5）≤f（x）≤f（0）．
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有最大值f（0）=3，
當(dāng)x=5時(shí)，f（x）有最小值f(5)=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和最值，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．