Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lnx}{x}，x≥1}\\{-{x}^{3}+1，x＜1}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x）=k有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• D． [$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，計(jì)算極值，作出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出k的范圍．

解答 解：當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f′（x）≥0，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[1，e）上單調(diào)遞增，在[e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取得極大值f（e）=$\frac{1}{e}$．
又f（1）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=$\frac{lnx}{x}$＞0，
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x³+1為減函數(shù)，
作出f（x）的大致函數(shù)圖象如圖所示：

∴當(dāng)0＜k＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）=k有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性判斷，函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．