Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，C₂的極坐標(biāo)方程ρ²-2ρcosθ-3=0．
（1）求C₁的普通方程；C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）C₁與C₂有兩個(gè)公共點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)t，求出C₁的普通方程即可，根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²求出C₂的直角坐標(biāo)方程即可；
（2）將C₁的參數(shù)方程代入x²+y²-2x-3=0中，得：t²+$\sqrt{2}$t-3=0．由韋達(dá)定理能求出線段AB的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）∵C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴C₁的普通方程是：x+y=2，
由C₂的極坐標(biāo)方程ρ²-2ρcosθ-3=0，
化為普通方程：x²+y²-2x-3=0；
（2）的極坐標(biāo)平面直角坐標(biāo)為在直線C₁上，
將C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入x²+y²-2x-3=0中，得：
（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²+（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²-2（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）-3=0，
化簡(jiǎn)得：t²+$\sqrt{2}$t-3=0．
設(shè)兩根分別為t₁，t₂，
由韋達(dá)定理知：t₁+t₂=-$\sqrt{2}$，t₁t₂=-3，
所以AB的長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{{{（t}_{1}{+t}_{2}）}^{2}-{{4t}_{1}t}_{2}}$=$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓、直線方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．