Question

7．求函數(shù)y=$\frac{si{n}^{2}x}{3}$+$\frac{3}{si{n}^{2}x}$的值域．

Answer 1

分析 令sin²x=t∈（0，1]．函數(shù)y=$\frac{si{n}^{2}x}{3}$+$\frac{3}{si{n}^{2}x}$=$\frac{t}{3}$+$\frac{3}{t}$=f（t），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：令sin²x=t∈（0，1]．
∴函數(shù)y=$\frac{si{n}^{2}x}{3}$+$\frac{3}{si{n}^{2}x}$=$\frac{t}{3}$+$\frac{3}{t}$=f（t），
∴f′（t）=$\frac{1}{3}$-$\frac{3}{{t}^{2}}$=$\frac{（t-3）（t+3）}{3{t}^{2}}$＜0．
∴函數(shù)f（t）在t∈（0，1]上單調(diào)遞減．
∴f（t）∈$[\frac{10}{3}，+∞）$．
∴函數(shù)y=$\frac{si{n}^{2}x}{3}$+$\frac{3}{si{n}^{2}x}$的值域為$[\frac{10}{3}，+∞）$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．