Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=8cosθ+10sinθ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程及參數(shù)方程；
（2）若點(diǎn)P（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，求證：x+y的最大值大于18．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出曲線的直角坐標(biāo)方程以及參數(shù)方程即可；
（2）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程表示出x+y，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出x+y的最大值，從而證明結(jié)論．

解答 解：（1）由ρ=8cosθ+10sinθ，得ρ²=8ρcosθ+10ρsinθ，
∴x²+y²=8x+10y，即（x-4）²+（y-5）²=41，
此即為曲線C的直角坐標(biāo)方程，
∴曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\sqrt{41}cosα}\\{y=5+\sqrt{41}sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)）；
（2）由曲線C的參數(shù)方程得：
x+y=4+$\sqrt{41}$cosα+5+$\sqrt{41}$sinα
=9+$\sqrt{41}$（sinα+cosα）=9+$\sqrt{41}$•$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
當(dāng)sin（α+$\frac{π}{4}$）=1時(shí)，x+y取最大值，且最大值是9+$\sqrt{41}$•$\sqrt{2}$=9+$\sqrt{82}$＞9+$\sqrt{81}$=18，
故x+y的最大值大于18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)，直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．