Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2，∠PDC=120°．
（Ⅰ）證明平面PDC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AD⊥CD，AD⊥PD，推出AD⊥平面PDC，然后證明平面PCD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）在平面PCD內，過點P作PE⊥CD交直線CD于點E，連接EB，說明∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角，通過在Rt△PEB中，求解sin∠PBE=$\frac{PE}{PB}$，推出結果．

解答 （Ⅰ）證明：由于底面ABCD是矩形，
故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD=D，
因此AD⊥平面PDC，而AD?平面ABCD，
所以平面PCD⊥平面ABCD．…6分；
（Ⅱ）解：在平面PCD內，過點P作PE⊥CD交直線CD于點E，連接EB，
由于平面PCD⊥平面ABCD，而直線CD是平面PCD與平面ABCD的交線，
故PE⊥平面ABCD，由此得∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角…8分
在△PDC中，由于PD=CD=2，∠PDC=120°，知∠PDE=60°．，
在Rt△PEC中，PE=PDsin60°=3，DE=12，PD=1，
且BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{1+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故在Rt△PEB中，PB=$\sqrt{P{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$，sin∠PBE=$\frac{PE}{PB}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$．
所以直線PB與平面ABCD所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{39}}{13}$．…12分．

點評 本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定定理的應用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．