Question

2．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$滿足$|{\overrightarrow a}|=4，|{\overrightarrow b}|=2\sqrt{2}，\left?{\overrightarrow a，\overrightarrow b}\right＞=\frac{π}{4}$，$（{\overrightarrow c-\overrightarrow a}）•（{\overrightarrow c-\overrightarrow b}）=-1$，則$|{\overrightarrow c-\overrightarrow a}|$的最大值為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow，\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{c}$，以OA所在的直線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系，利用向量的數(shù)量積的坐標表示整理出x，y的關系，結合圓的性質及幾何意義可求解

解答 解：設$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow，\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{c}$，以OA所在的直線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系，
∵$|{\overrightarrow a}|=4，|{\overrightarrow b}|=2\sqrt{2}，\left?{\overrightarrow a，\overrightarrow b}\right＞=\frac{π}{4}$，
則A（4，0），B（2，2），設C（x，y），
∵$（{\overrightarrow c-\overrightarrow a}）•（{\overrightarrow c-\overrightarrow b}）=-1$，則x²+y²-6x-2y+9=0，即（x-3）²+（y-1）²=1表示以（3，1）為圓心，1為半徑的圓，$|{\overrightarrow c-\overrightarrow a}|$的表示點A，C的距離，
即圓上的點與A（4，0）的距離，因為圓心到A的距離為$\sqrt{2}$，所以$|{\overrightarrow c-\overrightarrow a}|$的最大值為$\sqrt{2}+1$．
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查了向量的坐標運算，及向量模的集合意義，屬于中檔題．