分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)(i)根據(jù)切線方程求出a的值即可;(ii)問題轉(zhuǎn)化為$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在(x0,+∞)上恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出c的范圍即可.
解答 解:(Ⅰ)∵$f(x)=\frac{{a{x^2}}}{e^x}(a≠0)$,
∴$f'(x)=a(2x{e^{-x}}-{x^2}{e^{-x}})=ax(2-x){e^{-x}}=\frac{ax(2-x)}{e^x}$,
①當a>0時,
在x∈(-∞,0)∪(2,+∞)時,f'(x)<0,在x∈(0,2)時,f'(x)>0,
故f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上是減函數(shù),在(0,2)上是增函數(shù);
②當a<0時,
在x∈(-∞,0)∪(2,+∞)時,f'(x)>0,在x∈(0,2)時,f'(x)<0,
故f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上是增函數(shù),在(0,2)上是減函數(shù);…(4分)
(Ⅱ)(i)對f(x)求導(dǎo),得$f'(x)=\frac{ax(2-x)}{e^x}$,
設(shè)直線$y=\frac{x}{e}$與曲線y=f(x)切于點P(x0,y0),
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_0}{e}=\frac{ax_0^2}{{{e^{x_0}}}}\\ \frac{1}{e}=\frac{{a{x_0}({2-{x_0}})}}{{{e^{x_0}}}}\end{array}\right.$解得a=x0=1,∴a=1; …(7分)
(ii)記函數(shù)ϕ(x)=f(x)-h(x)=$\frac{x^2}{e^x}-(x-\frac{1}{x})$,x>0,
求導(dǎo),得$ϕ'(x)=\frac{x(2-x)}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}$,
當x≥2時,ϕ'(x)<0恒成立,
當0<x<2時,$x(2-x)≤{[\frac{x+(2-x)}{2}]^2}=1$,
∴$ϕ'(x)=\frac{x(2-x)}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}$$≤\frac{1}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}<1-1-\frac{1}{x^2}<0$,
∴ϕ'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,故ϕ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
又$ϕ(1)=\frac{1}{e}>0$,$ϕ(2)=\frac{4}{e^2}-\frac{3}{2}<0$,
曲線ϕ(x)=f(x)-h(x)在[1,2]上連續(xù)不間斷,
∴由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知,?唯一的x0∈(1,2),使ϕ(x0)=0.
∴當x∈(0,x0)時,ϕ(x)>0,當x∈(x0,+∞)時,ϕ(x)<0.
∴當x>0時,$g(x)=\frac{1}{2}[f(x)+h(x)]-\frac{1}{2}|f(x)-h(x)|-c{x^2}$=$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{x}-c{x^2},0<x≤{x_0}\\ \frac{x^2}{e^x}-c{x^2},x>{x_0}\end{array}\right.$
求導(dǎo),得$g'(x)=\left\{\begin{array}{l}1+\frac{1}{x^2}-2cx,\;0<x≤{x_0}\\ \frac{x(2-x)}{e^x}-2cx,\;x>{x_0}.\end{array}\right.$
由函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且曲線y=g(x)在(0,+∞)上連續(xù)不斷知:
g'(x)≥0在(0,x0],(x0,+∞)上恒成立.
①當x∈(x0,+∞)時,$\frac{x(2-x)}{{e}^{x}}$-2cx≥0在(x0,+∞)上恒成立,
即$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在(x0,+∞)上恒成立,
記$u(x)=\frac{2-x}{e^x}$,x>x0,則$u'(x)=\frac{x-3}{e^x}$,x>x0,
當 x變化時,u'(x),u(x)變化情況列表如下:
x | (x0,3) | 3 | (3,+∞) |
u'(x) | - | 0 | + |
u(x) | ↓ | 極小值 | ↑ |
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C. | -$\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D. | -$\sqrt{3}$ |
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A. | 1 | B. | -1 | C. | i | D. | -i |
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A. | [1,8] | B. | [3,8] | C. | [1,3] | D. | [1,6] |
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A. | {1} | B. | {(1,3)} | C. | {(1,2)} | D. | {2} |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -18 | B. | -23 | C. | -24 | D. | -32 |
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A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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A. | 3x'-4y'+1=0 | B. | 3x'+y'-1=0 | C. | 9x'-y'+1=0 | D. | x'-4y'+1=0 |
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