Question

9．已知向量$\overrightarrow m=（sin（ωx+\frac{π}{3}），-1），\overrightarrow n=（\sqrt{3}，cos（ωx+\frac{π}{3}））（ω＞0）$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$的圖象的對稱中心與對稱軸之間的最小距離為$\frac{π}{4}$
（1）求ω的值，并求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）△ABC中，角A，B，C的對邊分別為$a，b，c，f（A）=1，cosC=\frac{3}{5}，a=5\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)量積求出f（x），由f（x）圖象的對稱中心與對稱軸之間的最小距離求出周期，即得ω的值，寫出f（x）解析式，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間，即得在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由f（A）=1求出A的值，再由cosC的值求出sinC，由sinB=sin（A+C）求出sinB，再由正弦定理求出b的值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow m=（sin（ωx+\frac{π}{3}），-1），\overrightarrow n=（\sqrt{3}，cos（ωx+\frac{π}{3}））（ω＞0）$，
∴函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$）-cos（ωx+$\frac{π}{3}$）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）；
又f（x）的圖象的對稱中心與對稱軸之間的最小距離為$\frac{π}{4}$，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=4×$\frac{π}{4}$=π，
解得ω=2，
∴函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
∴f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間是[0，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]；
（2）由（1）知，f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
解得2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$+2kπ或2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，其中k∈Z；
∴A=kπ或kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z；
又A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$；
又cosC=$\frac{3}{5}$，且C∈（0，π），
∴sinC=$\frac{4}{5}$，
∴sinB=sin（A+C）=sin$\frac{π}{3}$cosC+cos$\frac{π}{3}$sinC=$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$；
由正弦定理$\frac{sinB}$=$\frac{a}{sinA}$，
得b=$\frac{\frac{3\sqrt{3}+4}{10}×5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=3$\sqrt{3}$+4．

點評 本題考查了求函數(shù)Asin（ωx+φ）的周期以及函數(shù)解析式和單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運算和正弦定理的應(yīng)用問題，是綜合題．