Question

3．已知y=f（x）為R上的連續(xù)可導(dǎo)的奇函數(shù)，當x＞0時f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＜0，則g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$的零點個數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 0或2

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=xg（x）=xf（x）+2，則g（x）的零點即為F（x）的零點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的奇偶性判斷F（x）的單調(diào)性，根據(jù)F（x）的最值符號判斷零點個數(shù)．

解答 解：由于函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$，可得x≠0，∴g（x）的零點與 xg（x）的零點相同，
令F（x）=xg（x）=xf（x）+2，
∴F′（x）=f（x）+xf′（x），
由于當x＞0時，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{xf′（x）+f（x）}{x}＜0$，
∴F′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴F（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴F（x）=xg（x）=xf（x）+2為偶函數(shù)．
∵$\underset{lim}{x→0+}$F（x）=$\underset{lim}{x→0+}（xf（x）+2）$=2，
∴當$\underset{lim}{x→+∞}$F（x）≥0時，F(xiàn)（x）無零點，當$\underset{lim}{x→+∞}$F（x）＜0時，F(xiàn)（x）有兩個零點．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的零點與單調(diào)性，最值的關(guān)系，屬于中檔題．