Question

16．已知曲線C上任意一點M到點F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）斜率不為0且過點P（2，2）的直線m與曲線C交于A，B兩點，設$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，當△AOB的面積為4$\sqrt{2}$時（O為坐標原點），求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由題設知：點M的軌跡C是以F為焦點，以直線y=-1為準線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．
（2）設直線m的方程為y=kx+（2-2k），代入拋物線方程，由韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式得出三角形的面積，求出k，得出A，B的橫坐標，根據(jù)相似比得出λ的值．

解答 解：（1）∵點M到點F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小于1，
∴點M在直線l的上方，點M到F（1，0）的距離與它到直線l′：y=-1的距離相等，
∴點M的軌跡C是以F為焦點，l′為準線的拋物線，
所以曲線C的方程為x²=4y．
（2）當直線m的斜率不存在時，它與曲線C只有一個交點，不合題意，
設直線m的方程為y-2=k（x-2），即y=kx+（2-2k），
代入x²=4y，得x²-4kx+8（k-1）=0，（*）
△=16（k²-2k+2）＞0對k∈R恒成立，
所以，直線m與曲線C恒有兩個不同的交點，
設交點A，B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=8（k-1），
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{16{k}^{2}-32（k-1）}$，
又O到直線AB的距離d=$\frac{|2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=4|k-1|•$\sqrt{{k}^{2}-2k+2}$=4$\sqrt{（k-1）^{2}（{k}^{2}-2k+2）}$=4$\sqrt{2}$，
∴（k-1）²（k²-2k+2）=（k-1）⁴+（k-1）²=2，解得（k-1）²=1，∴k=0（舍）或k=2．
把k=2代入方程（*），得x²-8x+8=0，解得x=4±2$\sqrt{2}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，∴λ=$\frac{2-（4-2\sqrt{2}）}{4+2\sqrt{2}-2}$=3-2$\sqrt{2}$或λ=$\frac{4+2\sqrt{2}-2}{2-（4-2\sqrt{2}）}$=3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意拋物線的簡單性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關系、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式等知識點的靈活運用．