Question

（本小題滿分14分）已知橢圓過點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)、是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且、、成等差數(shù)列．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：線段的垂直平分線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)橢圓C的方程為，由已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，可得，又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，將點(diǎn)代入橢圓方程解出即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：線段的垂直平分線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，由已知、、成等差數(shù)列，可得，由于，而點(diǎn)、是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，，這樣得，，代入，求得，因此可設(shè)線段的中點(diǎn)為，再由，可得，得斜率為，寫出線段的垂直平分線即可證出.

試題解析：（1）設(shè)橢圓C的方程為， 1分

由已知，得 2分

解得 3分

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 4分

（2）證明：設(shè)，，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

可知， 5分

同理， 6分

， 7分

，，

. 8分

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，由得，

.

設(shè)線段的中點(diǎn)為，由，

得線段的中垂線方程為， 11分

，該直線恒過一定點(diǎn). 12分

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，或，，

線段的中垂線是x軸，也過點(diǎn).

綜上，線段的中垂線過定點(diǎn). 14分

（2）問【解法二】

（ⅰ）若斜率存在時(shí)：

設(shè)直線為

聯(lián)立，消得： 5分

設(shè)點(diǎn)，則： 6分

由于且

所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021306015516249835/SYS201502130602029908492795_DA/SYS201502130602029908492795_DA.064.png">，其中，故

可得，從而 8分

由（3）式及得

所以直線的中垂線為 10分

化簡(jiǎn)得 11分

故：直線的中垂線過定點(diǎn) 12分

（ⅱ）若斜率不存在時(shí)：同解法一. 14分

考點(diǎn)：橢圓的方程，二次曲線定點(diǎn)問題，直線與二次曲線位置關(guān)系.