Question

11．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=$\frac{x-a}{（x+a）^{2}}$．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，f（0））處的切線與直線y=3x-2平行，求a的值；
（2）若對(duì)于定義域內(nèi)的任意x₁，總存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a的值；
（2）對(duì)于定義域內(nèi)的任意x₁，總存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），即為f（x）在x≠-a不存在最小值，討論a=0，a＞0，a＜0，求得單調(diào)區(qū)間和極值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{x-a}{（x+a）^{2}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{3a-x}{（x+a）^{3}}$，x≠-a，
可得函數(shù)f（x）在（0，f（0））處的切線斜率為$\frac{3}{{a}^{2}}$，
由題意可得$\frac{3}{{a}^{2}}$=3，解得a=±1；
（2）對(duì)于定義域內(nèi)的任意x₁，總存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），
即為f（x）在x≠-a不存在最小值，
①a=0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}$無最小值，顯然成立；
②a＞0時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{3a-x}{（x+a）^{2}}$，
可得f（x）在（-∞，-a）遞減；在（-a，3a）遞增，在（3a，+∞）遞減，
即有f（x）在x=3a處取得極大值，
當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）＞0；x＜a時(shí)，f（x）＜0．取x₁＜a，x₂≠-a即可，
當(dāng)x₁＜-a時(shí)，f（x）在（-∞，-a）遞減，且x₁＜x₁+$\frac{1}{2}$|x₁+a|＜-a，
f（x₁）＞f（x₁+$\frac{1}{2}$|x₁+a|），故存在x₂=x₁+$\frac{1}{2}$|x₁+a|，使得f（x₂）＜f（x₁）；
同理當(dāng)-a＜x₁＜a時(shí)，令x₂=x₁-$\frac{1}{2}$|x₁+a|，使得f（x₂）＜f（x₁）也符合；
則有當(dāng)a＞0時(shí)，f（x₂）＜f（x₁）成立；
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，3a）遞減；在（3a，a）遞增，在（-a，+∞）遞減，
即有f（x）在x=3a處取得極小值，
當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）＞0；x＜a時(shí)，f（x）＜0．
f（x）_min=f（3a），當(dāng)x₁=3a時(shí)，不存在x₂，使得f（x₂）＜f（x₁）．
綜上可得，a的范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查任意和存在性問題的解法，注意運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．