Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PAB為等邊三角形，O為AB的中點(diǎn)，PO丄AC．
（1）求證：平面PAB丄平面ABCD；
（2）求PC與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）要證明平面PAB⊥平面ABCD，根據(jù)面面垂直的判定定理，關(guān)鍵是要在一個(gè)平面里找到一條直線與另外一個(gè)平面垂直，觀察發(fā)現(xiàn)△PAB底邊AB上的中線滿足要求，添加輔助線后，證明線面垂直即可得到結(jié)論．
（2）由（1）的結(jié)論，我們易得∠PCO即為所求，構(gòu)造三角形，解三角形即可得到答案．

解答 解：（1）證明：∵△PAB為等邊三角形，O為AB中點(diǎn)，
∴PO⊥AB．
又PO⊥AC，∴PO⊥平面ABCD．
又PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（2）解：∵PO⊥平面ABCD．
∴∠PCO為直線PC與平面ABCD所成的角．
設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為2，
則PO=$\sqrt{3}$，CO=$\sqrt{5}$∴PC=$\sqrt{P{O}^{2}+C{O}^{2}}=2\sqrt{2}$，cos∠PCO=$\frac{CO}{PC}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$
∴PC與平面ABCD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間面面關(guān)系的垂直關(guān)系的判斷、線面角的求解，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、屬于中檔題．