Question

14．如圖，在三棱錐D-ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，E是DC的中點(diǎn)，則AC與BE所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{16}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 取AB中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，過O作BC的平行線為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AC與BE所成角的余弦值．

解答 解：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OD，
∵在三棱錐D-ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，
DA=AB=DB=BC，
∴OD⊥平面ABC，
以O(shè)為原點(diǎn)，過O作BC的平行線為x軸，OB為y軸，OD為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)DA=AB=DB=BC=2，又E是DC的中點(diǎn)，
∴A（0，-1，0），C（2，1，0），B（0，1，0），
D（0，0，$\sqrt{3}$），E（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（1，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)AC與BE所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{4}$．
∴AC與BE所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．