Question

18．在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線．
（1）已知G，H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH∥面ABC；
（2）已知$EF=FB=\frac{1}{2}AC=2$，AB=BC，求二面角F-BC-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)FC的中點(diǎn)為I，由三角形中位線定理可得GI∥EF∥OB，IH∥BC，再由面面平行的判定可得面GIH∥面ABC，進(jìn)一步得到GH∥面ABC；
（2）連接OO'，則OO'⊥平面ABC，又AB=BC，且AC是圓O的直徑，得BO⊥AC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz（OA方向?yàn)閤軸，OB方向?yàn)閥軸，OO′方向?yàn)閦軸，然后求出兩個(gè)平面BCF與ABC的一個(gè)法向量，利用兩平面法向量所成角的余弦值求得二面角F-BC-O的余弦值．

解答 （1）證明：設(shè)FC的中點(diǎn)為I，由三角形中位線定理可得GI∥EF∥OB，IH∥BC，
∵GI∩IH=I，∴面GIH∥面ABC，
則GH∥面ABC；
（2）解：連接OO'，則OO'⊥平面ABC，
又AB=BC，且AC是圓O的直徑，∴BO⊥AC，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz（OA方向?yàn)閤軸，OB方向?yàn)閥軸，OO′方向?yàn)閦軸，
如圖，
由題意得：B（0，2，0），C（-2，0，0），過點(diǎn)F作FM⊥OB于點(diǎn)M，
故FM=$\sqrt{F{B}^{2}-B{M}^{2}}=\sqrt{3}$，∴F（0，1，$\sqrt{3}$），
故$\overrightarrow{BC}=（{-2，-2，0}），\overrightarrow{BF}=（{0，-1，\sqrt{3}}）$，
設(shè)$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$是平面BCF的一個(gè)法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x-2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，則$\overrightarrow n=（{-\sqrt{3}，\sqrt{3}，1}）$，
又平面ABC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{OO'}=（{0，0，\sqrt{3}}）$，
故$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{OO'}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{OO'}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{OO'}}|}}=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$，
二面角F-BC-O的余弦值為$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定和性質(zhì)，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．