Question

7．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，$B={60°}，b=\sqrt{3}$．
（1）求a+c的最大值；
（2）若△ABC為銳角三角形，求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理，可得：（a+c）²=3ac+3，利用基本不等式可求3≥ac，從而可求a+c的最大值．
（2）由正弦定理可求$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2A-30°）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，由范圍A∈（30°，90°），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求S_△ABC的范圍．

解答 解：（1）∵$B={60°}，b=\sqrt{3}$，
∴由余弦定理，可得：3=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，可得：（a+c）²=3ac+3，
又∵3=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號成立，
∴（a+c）²=3ac+3≤3×3+3=12，即a+c≤2$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號成立，
∴a+c的最大值為$2\sqrt{3}$．
（2）∵$B={60°}，b=\sqrt{3}$，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB
=$\frac{1}{2}×$2sinA×2sinC×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\sqrt{3}$sinAsinC
=$\sqrt{3}$sinAsin（120°-A）
=$\sqrt{3}$sinA[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA]
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2A-30°）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵A∈（30°，90°），可得：2A-30°∈（30°，150°），
∴sin（2A-30°）∈（$\frac{1}{2}$，1]，可得：S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2A-30°）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$∈$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{3\sqrt{3}}}{4}]$．

點(diǎn)評 本題主要考查了余弦定理，基本不等式，正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．