Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若不等式對恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)得到 ，討論和0和1 的大小關(guān)系，在不同情況下求得導(dǎo)函數(shù)的正負即得到原函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)極值的概念得到結(jié)果；（2）設(shè) ，構(gòu)造以上函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，使得最小值大于等于0即可.

解析：

（Ⅰ），

，

∵的定義域為.

①即時， 在上遞減， 在上遞增，

， 無極大值.

②即時， 在和上遞增，在上遞減，

， .

③即時， 在上遞增， 沒有極值.

④即時， 在和上遞增， 在上遞減，

∴， .

綜上可知： 時， ， 無極大值；

時， ， ；

時， 沒有極值；

時， ， .

（Ⅱ）設(shè) ，

，

設(shè)，則， ， ，

∴在上遞增，∴的值域為，

①當(dāng)時， ， 為上的增函數(shù)，

∴，適合條件.

②當(dāng)時，∵，∴不適合條件.

③當(dāng)時，對于， ，

令， ，

存在，使得時， ，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

即在時， ，∴不適合條件.

綜上， 的取值范圍為.