Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=xe^x-ax（a∈R，a為常數(shù)），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)f（x）＞0時，求實數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時，求使得f（x）+k＞0成立的最小正整數(shù)k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）＞0，可知x（e^x-a）＞0，然后對a分類求得實數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時，要使f（x）+k＞0恒成立，即xe^x-2x＞-k恒成立．構(gòu)造函數(shù)f（x）=xe^x-2x，利用導(dǎo)數(shù)可得存在唯一的x₀∈（0，1），使得當(dāng)x∈（-∞，x₀）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-∞，x₀）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，x₀）上單調(diào)遞增．由此可得當(dāng)x=x₀時，f（x）取最小值．從而使f（x）+k＞0成立的最小正整數(shù)k的值為1．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）＞0，可知x（e^x-a）＞0，
當(dāng)a≤0時，e^x-a＞0，由x（e^x-a）＞0，解得x＞0；
當(dāng)0＜a≤1時，lna≤0，由x（e^x-a）＞0，解得x＞0或x＜lna；
當(dāng)a＞1時，lna＞0，由x（e^x-a）＞0，解得x＞lna或x＜0；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時，要使f（x）+k＞0恒成立，即xe^x-2x＞-k恒成立．
令f（x）=xe^x-2x，則f′（x）=h（x）=（x+1）e^x-2，h′（x）=（x+2）e^x．
當(dāng)x∈（-∞，-2）時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（-2，+∞）時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞增．
又∵x∈（-∞，-1）時，h（x）＜0，且h（0）=-1＜0，h（1）=2e²-2＞0．
∴存在唯一的x₀∈（0，1），使得$f′（{x}_{0}）=h（{x}_{0}）=（{x}_{0}+1）{e}^{{x}_{0}}-2=0$．
當(dāng)x∈（-∞，x₀）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-∞，x₀）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，x₀）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=x₀時，f（x）取最小值．
f（x₀）=${x}_{0}{e}^{{x}_{0}}-2{x}_{0}=\frac{2{x}_{0}}{{x}_{0}+1}-2{x}_{0}=4-2（{x}_{0}+1+\frac{1}{{x}_{0}+1}）$．
∵x₀∈（0，1），∴f（x₀）∈（-1，0）．
從而使f（x）+k＞0成立的最小正整數(shù)k的值為1．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了利用分離參數(shù)法求解函數(shù)恒成立問題，屬中檔題．