Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，把位于直線y=k與直線y=l（k、l均為常數(shù)，且k＜l）之間的點(diǎn)所組成的區(qū)域（含直線y=k，直線y=l）稱(chēng)為“k⊕l型帶狀區(qū)域”，設(shè)f（x）為二次函數(shù)，三點(diǎn)（-2，f（-2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型帶狀區(qū)域”，如果點(diǎn)（t，t+1）位于“-1⊕3型帶狀區(qū)域”，那么，函數(shù)y=|f（t）|的最大值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出函數(shù)f（x）的解析式，求出|t的范圍，用f（-2），f（2），f（0）表示出f（x）的解析式，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出其最大值即可．

解答 解：設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由題意可知|f（-2）|≤2，|f（0）|≤2，|f（2）|≤2，
∵$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=4a-2b+c}\\{f（0）=c}\\{f（2）=4a+2b+c}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{f（2）-f（-2）}{4}}\\{a=\frac{f（2）+f（-2）-2f（0）}{8}}\\{c=f（0）}\end{array}\right.$，
∵-1≤t+1≤3，∴|t|≤2，
∴|f（t）|=|$\frac{f（2）+f（-2）-2f（0）}{8}$t²+$\frac{f（2）-f（-2）}{4}$t+f（0）|
=|$\frac{{t}^{2}-2t}{8}$f（-2）+$\frac{{t}^{2}+2t}{8}$f（2）+$\frac{4-{t}^{2}}{4}$f（0）|，
≤|$\frac{{t}^{2}-2t}{4}$|+|$\frac{{t}^{2}+2t}{4}$|+|$\frac{4-{t}^{2}}{2}$|
=$\frac{1}{4}$|t|（2-t）+$\frac{1}{4}$|t|（t+2）+$\frac{1}{2}$（4-t²）
=-$\frac{1}{2}$t²+|t|+2=-$\frac{1}{2}$（|t|-1）²+$\frac{5}{2}$≤$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)，求函數(shù)最值問(wèn)題，是一道中檔題．