Question

18．在5×5的表格填上數(shù)字，設(shè)在第i行第j列所組成的數(shù)字為a_ij，a_ij∈{0，1}，a_ij=a_ji（1≤i，j≤5），則表格中共有5個(gè)1的填表方法種數(shù)為326．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，按數(shù)字1出現(xiàn)的位置分三種情況討論，①、5個(gè)1都出現(xiàn)在i=j即a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅這5個(gè)表格中，②、有1個(gè)1出現(xiàn)在a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅這5個(gè)表格中，剩余4個(gè)1在其他位置，③、有3個(gè)1出現(xiàn)在a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅這5個(gè)表格中，剩余2個(gè)1在其他位置，分別求出每種情況下填表方法的數(shù)目，進(jìn)而由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，在5×5的表格中，有5個(gè)i=j的表格，即a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅，10個(gè)i＞j的表格，10個(gè)i＜j的表格；
要求5×5的表格種恰有5個(gè)1，則對1出現(xiàn)的位置分3種情況討論：
①、5個(gè)1都出現(xiàn)在i=j即a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅這5個(gè)表格中，有1種情況；
②、有1個(gè)1出現(xiàn)在a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅這5個(gè)表格中，剩余4個(gè)1在其他位置，
需要先在a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅這5個(gè)表格中，選出1個(gè)，有C₅¹種情況，
在剩下的10個(gè)a_ij（i＞j）表格中，任選2個(gè)，有C₁₀²種情況，
則有C₅¹×C₁₀²=225種填表方法；
③、有3個(gè)1出現(xiàn)在a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅這5個(gè)表格中，剩余2個(gè)1在其他位置，
需要先在a₁₁、a₂₂、a₃₃、a₄₄、a₅₅這5個(gè)表格中，選出3個(gè)，有C₅³種情況，
在剩下的10個(gè)a_ij（i＞j）表格中，任選1個(gè)，有C₁₀¹種情況，
則有C₅³×C₁₀¹=100種填表方法；
則一共有1+225+100=326種填表方法；
故答案為：326．

點(diǎn)評 本題考查排列組合的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意的要求，進(jìn)而進(jìn)行分類討論．