Question

1．在平面直角坐標系中，點M（-5，-4），N（-1，0），圓C的半徑為2，圓心在直線$l：y=-\frac{1}{2}x-1$上
（1）若圓心C也在圓x²+y²-6x+4=0上，過點M作圓C的切線，求切線的方程．
（2）若圓C上存在點R，使$|RM|=\sqrt{2}|RN|$，求圓心C的縱坐標b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）圓心在圓上又在直線上，聯(lián)立求出可得圓心，設點斜式切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑，解得k值，即得切線的方程．
（2）設圓C的方程為（x+2b+2）²+（y-b）²=4，設點R（x，y），利用兩點之間的距離公式使$|RM|=\sqrt{2}|RN|$，求出R的點的方程．R的點的方程與圓心C有交點，即可求b的取值范圍．

解答 解：（1）圓心C也在圓x²+y²-6x+4=0上，圓心C在直線$l：y=-\frac{1}{2}x-1$上，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x-1\\{x^2}+{y^2}-6x+4=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-2\end{array}\right.$，
∴圓心（2，-2），
設切線方程為y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0，
∵$\frac{|2k+2+5k-4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，
解得k=0或$k=\frac{28}{45}$，
故得切線方程為y=4或28x-45y-40=0．
（2）設圓C的方程為（x+2b+2）²+（y-b）²=4，設點R（x，y），
∵$|RM|=\sqrt{2}|RN|$，
∴$\sqrt{{{（x+5）}^2}+{{（y+4）}^2}}=\sqrt{2}\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}$，化簡得（x-3）²+（y-4）²=64，
∴點R在以D（3，4）為圓心，以8為半徑的圓上，
由題意知點R在圓C上，
可得：圓C與圓D有公共點，則6≤|CD|≤10，
即$6≤\sqrt{{{（3+2+2b）}^2}+{{（4-b）}^2}}≤10$，
∴-5≤5b²+12b≤59，
解得：$-\frac{{6+\sqrt{331}}}{5}≤b≤-\frac{{6+\sqrt{11}}}{5}$或$\frac{{\sqrt{11}-6}}{5}≤b≤\frac{{\sqrt{331}-6}}{5}$；

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的判斷，根據(jù)直線和圓相切的等價條件是解決本題的關鍵．考查了動之間的關系，屬于中檔題．