Question

2．已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$內(nèi)一點P（2，1），直線過點P且與橢圓相交兩點，則以P為中點的直線方程為32x-25y-89=0．

Answer 1

分析 設(shè)過P點的直線與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點差法能求出以P為中點的直線方程．

解答 解：設(shè)過P點的直線與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵P（2，1）是AB的中點，∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程：16x²+25y²=400，得：
$\left\{\begin{array}{l}{16{{x}_{1}}^{2}+25{{y}_{1}}^{2}=400}\\{16{{x}_{2}}^{2}+25{{y}_{2}}^{2}=400}\end{array}\right.$，兩式相減，并整理，得：
16（x₁+x₂）（x₁-x₂）-25（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴64（x₁-x₂）-50（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{64}{50}$=$\frac{32}{25}$，
∴以P為中點的直線方程為y=$\frac{32}{25}$（x-2）-1，即32x-25y-89=0．
∴以P為中點的直線方程為32x-25y-89=0．
故答案為：32x-25y-89=0．

點評 本題考查橢圓方程的中點弦所在直線方程求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．